PRSchoolCrows_PRA_DP2Sim01-01. Уроки моделирования на задачах начальной школы. Считаем ворон. Практические задания. 2 шага. На ветке 10 ворон, улетели 3, потом 2. Сколько осталось?

•  Задачи рекомендуется изучать в порядке возрастания сложности, поскольку в следующих задачах, как правило, не повторяются пояснения к предыдущим, а приводится ссылка и вводятся новые инструменты моделирования. В некоторых решениях «наследуется» полностью модель и схема объекта, но изменяется, например, горизонт планирования, ограничения или критерии.

•  Нумерация объектов и задач может содержать пропуски, оставленные для развития темы и для самостоятельных практических работ.

•  Сравнивать задачи и решения как из одной, так и из разных серий удобно в нескольких вкладках браузера, «вытащив» их в отдельные окна.

•  Некоторые решения опираются не на самую удачную модель, они предполагают самостоятельную практическую работу по улучшению модели.

кратко

В концепции единой модели Алеф-куб задачи по математике в начальных классах в основном однотипны. Перечислим их отличия:

•  количество «действий» (шагов, уравнений) для их решения;

•  способ решения – подбор и подстановка значений (симуляция) или вычисление;

•  требуется определить зависимые переменные или/и независимые или коэффициенты;

•  используются (неявно) разные : пространственные (статика) или/и временные (динамика), порядковые (сравнение, неравенства, оптимизация) или шкалы наименований (выбор) и др., только натуральные числа или также отрицательные и дробные.

кратко

Сравним базовые задачи из учебника для 1 класса.

1 класс. Реши задачу.

«Считаем ворон». Дано: Прилетели 10 ворон и сели на ветку. Сначала улетело 3 вороны, а потом улетело ещё 2 вороны. Определить: Сколько ворон на ветке?

«У Оли яблоки». Дано: Оле дали 10 яблок.

«Оля съела все». Оля сама съела сначала 3, потом еще 2. Определить: Сколько яблок у Оли?

«Оля угостила». Оля сначала отдала 3 яблока Тане, а потом еще 2 яблока Васе. Определить: Сколько яблок у Оли?

Общее у всех этих задач:

•  Все эти задачи – динамические, календарного планирования, описывают процесс и в пространстве, и во времени. Статическая модель не адекватна постановке задач: все 2+3=5 ворон должны улететь сразу, а Оле придется в один присест съесть все 2+3=5 яблок, что не реально, или мгновенно отдать их сразу двоим, хотя 5 яблок не поместятся в руке.

•  Все эти задачи описывает одна и та же схема математической модели, математически это одна базовая модель, но с разным вербальным описанием, из разных предметных областей.

Рисунок. Схемы объекта для трех задач, сгенерированные автоматически

Отличия задач «У Оли яблоки» от задачи «Считаем ворон»:

•  Терминология, предметная область – орнитология (изучает птиц) и педагогика (или этика – яблоками нужно делиться), словесная постановка.

•  Число ворон может быть только целым, – это дискретная (целочисленная) переменная, число яблок – непрерывная переменная, съесть можно и часть яблока, и угостить можно, например, половиной или третью.

•  Число ворон – наблюдаемые переменные, число яблок – переменные, управляемые Олей.

Отличие задач «Съела» от задач «Угостила» и «Вороны»:

•  Если Оля съела яблоки, их невозможно вернуть, а если угостила, ей могут их вернуть. И вороны могут вернуться обратно на ветку.

Еще две подобных задачи.

«Сок». Дано: Оля выжала 10 стаканов сока. Сначала она отдала 3 стакана Тане, а потом отдала еще 2 стакана Васе. Определить: Сколько стаканов сока осталось у Оли?

«Бассейн». Дано: В бассейне было 100 куб. метров воды. Сначала слили 30 куб. метров по 1й трубе, потом еще 20 куб. метров по 2й трубе. Определить: Сколько воды осталось в бассейне?

Их модели аналогичны предыдущим.

Выводы. Анализ показывает:

•  Общность, абстрактность и единство математических моделей для разных предметных областей, в данном случае орнитологии (раздел зоологии, изучающий птиц) и педагогики (яблоками нужно делиться).

•  Различие между вербальным (словесным) и формальным математическим описанием задачи.

•  Основой моделей даже таких «детских» задач являются ресурсы – вороны, яблоки и др., потоки – движение ресурсов, операции – действия с ресурсами, балансы ресурсов – законы сохранения, а также явно или неявно присутствуют цели.

•  Направления и характеристики, по которым нужно исследовать задачу для моделирования (тип ресурса и балансов, характер операций, шкалы и др.).

•  Как использовать типовые решения из одной предметной области для, казалось бы, совсем другой области.

кратко

Постановка базовой задачи

1 класс. Реши задачу.

Дано: Прилетели 10 ворон и сели на ветку. Сначала улетело 3 вороны, а потом улетело ещё 2 вороны.

Определить: Сколько ворон на ветке?

Особенности.

•  Схема объекта включает всего одну установку и одну емкость.

•  Число ворон может быть только целым.

•  Задача динамическая, календарного планирования, при постановке задачи в статике 2+3=5 ворон должны улететь сразу, в этом мало смысла.

кратко

Емкость: «Число ворон на ветке».

Установка: «Вороны улетают».

Операции установки: 1ый раз, 2ой раз.

Интервалы времени: шаги процесса, 1 раз, 2 раз.

Потоки: из емкости в установку «Вороны улетают», из нее – неизвестно куда.

Ответ. Число ворон на ветке монотонно убывает, уменьшается по шагам: до начала процесса было 10; потом 10 – 3 = 7 и 7 – 2 = 5.

Примечания.

•  Решается уравнение динамического монотонно убывающего баланса ресурса «вороны» в емкости «на ветке».

•  Этот и следующие примеры решаются в режиме «Симуляция», значения независимых переменных заданы, определяются только зависимые переменные – фазовые координаты.

кратко

Рисунок. Схема объекта, построенная вручную

Рисунок. Схема объекта, сгенерированная автоматически. Со стрелками

Рисунок. Схема объекта, сгенерированная автоматически. С именами потоков

кратко

Лист установок, иерархия – 1 стадия, 1 установка, 2 операции, в каждой – по одному входному потоку.

Рисунок. Фрагмент формы – стадия, установка, операция, поток

Примечания.

•  Заданы «фрагменты решения» – вороны улетают 1й и 2й раз, и потоки – число улетающих ворон.

•  Матрица переналадок пустая, оптимизация не требуется.

Лист емкостей – 1 стадия (2я стадия пустая, «замыкающая»), 1 емкость

Рисунок. Фрагмент формы – стадии емкостей, емкость

Примечания.

•  Задано начальное значение ворон на ветке, т.е. считаем, что 10 ворон прилетели до начала процесса.

•  Ограничения на уровень в емкости отсутствуют.

•  Точность +/–1 ворона.

На листе опций – Горизонт планирования

Рисунок. Фрагмент листа опций – горизонт планирования

Критерий не играет роли, поскольку это режим симуляции.

кратко

Листы установок и емкостей

Рисунок. Расписание выполнения операций на установках

Рисунок. Расписание запасов в емкостях

Начальное значение числа ворон на ветке задано, т.е. считаем, что 10 ворон прилетели до начала процесса. Поэтому число ворон на ветке монотонно убывает, уменьшается по шагам: до начала процесса было 10; потом 10 – 3 = 7 и 7 – 2 = 5.

Диаграмма Ганта

Рисунок. Фрагмент расписания выполнения операций

Уровень в емкости

Рисунок. Графики изменения состояния емкостей

Рисунок. Графики расписания потоков

Гистограммы

Рисунок. Гистограмма объемов потребления сырья

Рисунок. Гистограмма объемов выпуска продуктов

Отчеты

Рисунок. Отчет по установкам

Рисунок. Отчет по емкостям

Объяснения решения

Рисунок. Фрагмент трассы объяснений хода рассуждений Решателя DP

кратко