Описание Области
Обучение моделированию можно начать с задач для начальной школы. Из нескольких базовых задач из учебника для 1го класса строятся серии задач по возрастанию сложности, приводятся примеры моделирования подобных задач в Алеф-куб. Как и в любой задаче основой моделей являются ресурсы, действия с ресурсами и балансы ресурсов.
Предложенные технологические решения можно также использовать в сфере образования, EdTech (Education Technology).
Рекомендации
подробнее…
• Задачи рекомендуется изучать в порядке возрастания сложности, поскольку в следующих задачах, как правило, не повторяются пояснения к предыдущим, а приводится ссылка и вводятся новые инструменты моделирования. В некоторых решениях «наследуется» полностью модель и схема объекта, но изменяется, например, горизонт планирования, ограничения или критерии.
• Нумерация объектов и задач может содержать пропуски, оставленные для развития темы и для самостоятельных практических работ.
• Сравнивать задачи и решения как из одной, так и из разных серий удобно в нескольких вкладках браузера, «вытащив» их в отдельные окна.
• Некоторые решения опираются не на самую удачную модель, они предполагают самостоятельную практическую работу по улучшению модели.
кратко
Особенности задач в начальных классах
подробнее…
В концепции единой модели Алеф-куб задачи по математике в начальных классах в основном однотипны. Перечислим их отличия:
• количество «действий» (шагов, уравнений) для их решения;
• способ решения – подбор и подстановка значений (симуляция) или вычисление;
• требуется определить зависимые переменные или/и независимые или коэффициенты;
• используются (неявно) разные : пространственные (статика) или/и временные (динамика), порядковые (сравнение, неравенства, оптимизация) или шкалы наименований (выбор) и др., только натуральные числа или также отрицательные и дробные.
кратко
Анализ базовых задач
подробнее…
Сравним базовые задачи из учебника для 1 класса.
1 класс. Реши задачу.
«Считаем ворон». Дано: Прилетели 10 ворон и сели на ветку. Сначала улетело 3 вороны, а потом улетело ещё 2 вороны. Определить: Сколько ворон на ветке?
«У Оли яблоки». Дано: Оле дали 10 яблок.
«Оля съела все». Оля сама съела сначала 3, потом еще 2. Определить: Сколько яблок у Оли?
«Оля угостила». Оля сначала отдала 3 яблока Тане, а потом еще 2 яблока Васе. Определить: Сколько яблок у Оли?
Общее у всех этих задач:
• Все эти задачи – динамические, календарного планирования, описывают процесс и в пространстве, и во времени. Статическая модель не адекватна постановке задач: все 2+3=5 ворон должны улететь сразу, а Оле придется в один присест съесть все 2+3=5 яблок, что не реально, или мгновенно отдать их сразу двоим, хотя 5 яблок не поместятся в руке.
• Все эти задачи описывает одна и та же схема математической модели, математически это одна базовая модель, но с разным вербальным описанием, из разных предметных областей.
Рисунок. Схемы объекта для трех задач, сгенерированные автоматически
Отличия задач «У Оли яблоки» от задачи «Считаем ворон»:
• Терминология, предметная область – орнитология (изучает птиц) и педагогика (или этика – яблоками нужно делиться), словесная постановка.
• Число ворон может быть только целым, – это дискретная (целочисленная) переменная, число яблок – непрерывная переменная, съесть можно и часть яблока, и угостить можно, например, половиной или третью.
• Число ворон – наблюдаемые переменные, число яблок – переменные, управляемые Олей.
Отличие задач «Съела» от задач «Угостила» и «Вороны»:
• Если Оля съела яблоки, их невозможно вернуть, а если угостила, ей могут их вернуть. И вороны могут вернуться обратно на ветку.
Еще две подобных задачи.
«Сок». Дано: Оля выжала 10 стаканов сока. Сначала она отдала 3 стакана Тане, а потом отдала еще 2 стакана Васе. Определить: Сколько стаканов сока осталось у Оли?
«Бассейн». Дано: В бассейне было 100 куб. метров воды. Сначала слили 30 куб. метров по 1й трубе, потом еще 20 куб. метров по 2й трубе. Определить: Сколько воды осталось в бассейне?
Их модели аналогичны предыдущим.
Выводы. Анализ показывает:
• Общность, абстрактность и единство математических моделей для разных предметных областей, в данном случае орнитологии (раздел зоологии, изучающий птиц) и педагогики (яблоками нужно делиться).
• Различие между вербальным (словесным) и формальным математическим описанием задачи.
• Основой моделей даже таких «детских» задач являются ресурсы – вороны, яблоки и др., потоки – движение ресурсов, операции – действия с ресурсами, балансы ресурсов – законы сохранения, а также явно или неявно присутствуют цели.
• Направления и характеристики, по которым нужно исследовать задачу для моделирования (тип ресурса и балансов, характер операций, шкалы и др.).
• Как использовать типовые решения из одной предметной области для, казалось бы, совсем другой области.
кратко
Из одной базовой задачи для 1го класса строится серия задач по возрастанию сложности.
Особенности Объекта
Задачи серии «У Оли яблоки» с тем же номером имеют в точности ту же математическую модель, что и в серии «Считаем ворон». Более того, почти все модели и решения построены простым переименованием элементов схемы объекта, могут иметь незначительные отличия, не влияющие на результат. Но решения с другим номером могут отличаться существенно.
Анализ и сравнение серий представлены в описании общей для них области PrSchool.
Особенности Задачи и Решения
Похоже на вариант 01-01. Отличия:
• Постановка задачи изменилась: вместо «У Оли было 10 яблок» появилось условие «Оле дали 10 яблок». Поэтому начальное состояние – нет у Оли яблок, и появился «рецикл» – возврат потока из операции в емкость.
• 3 шага, каждый шаг выполняет отдельная операция установки с соответствующим потоком.
Дано: Оле дали 10 яблок. Сначала она отдала 3 яблока Тане, потом еще 2 Васе.
Определить: Сколько яблок у Оли?
Модель
подробнее…
Емкость: «Число яблок у Оли».
Установка: «Оля».
Операции установки: «Получила», «Отдала Тане», «Отдала Васе», «Не было».
Интервалы времени: шаги процесса, 1й шаг, 2й шаг, 3й шаг.
Потоки: из установки «Оля» от операции «Получила» в емкость «Число яблок у Оли», а оттуда в установку «Оля» к операциям «Отдала Тане», «Отдала Васе», «Не было», а из них – неизвестно куда, может быть Таня и Вася съели яблоки.
кратко
Схема Объекта
подробнее…
Схема Объекта изменилась в соответствии с постановкой задачи, появился рецикл.
Рисунок. Схема объекта со стрелками
кратко
Исходные данные
подробнее…
Лист установок, иерархия – 1 стадия, 1 установка, 4 операции, в каждой – по одному входному потоку.
Рисунок. Фрагмент формы – стадия, установка, операция, поток
Примечания.
• Заданы «фрагменты решения» – «Получила» (знак потока «+1») и «Отдала…» (знак потоков «–1»), и потоки – число яблок.
• Матрица переналадок пустая, оптимизация не требуется.
Лист емкостей – 1 стадия (2я стадия пустая, «замыкающая»), 1 емкость
Рисунок. Фрагмент формы – стадии емкостей, емкость
Примечания.
• Начальное значение числа яблок у Оли – 0.
• Ограничения на уровень в емкости отсутствуют, поэтому точность ни на что не влияет, здесь она равна 0 (пусто по умолчанию – это 0).
На листе опций – Горизонт планирования, 3 интервала на горизонте
Рисунок. Фрагмент листа опций – горизонт планирования
Критерий не играет роли, поскольку это режим симуляции.
кратко
Результаты решения
подробнее…
Листы установок и емкостей
Рисунок. Расписание выполнения операций на установках
Рисунок. Расписание запасов в емкостях
Диаграмма Ганта
Операции переключаются. Чтобы не загромождать диаграмму Ганта неинформативными фрагментами расписания выполнения операций, поменяем значения двух опций на листе «Опц» с 1 на 0:
• Показывать на диаграмме Ганта установки, выполняющие единственную операцию на всем горизонте (1/0);
• Показывать на диаграмме Ганта расписание операций, не работающих ни в одном интервале (1/0).
Рисунок. Фрагмент листа опций – Диаграммы операций, потоков, запасов и др.
Рисунок. Фрагмент расписания выполнения операций
Уровень в емкости и графики расписания потоков
В этом примере функция запаса к емкости немонотонна.
Рисунок. Графики изменения состояния емкостей
В этом примере три отдельных потока на 1м, 2м и 3м шагах.
Рисунок. Графики расписания потоков
Гистограммы
Рисунок. Гистограмма объемов потребления сырья
Отчеты
Рисунок. Отчет по установкам
Рисунок. Отчет по емкостям
Объяснения решения
Рисунок. Фрагмент трассы объяснений хода рассуждений Решателя DP
кратко