PRSchoolApples_PRA_DP3Opt02-03. Уроки моделирования на задачах начальной школы. У Оли яблоки.Практические задания. 3 шага. Оле дали 10 яблок. Отдала 3 яблока Тане, и еще 2 Васе. Минимум переключений.

•  Задачи рекомендуется изучать в порядке возрастания сложности, поскольку в следующих задачах, как правило, не повторяются пояснения к предыдущим, а приводится ссылка и вводятся новые инструменты моделирования. В некоторых решениях «наследуется» полностью модель и схема объекта, но изменяется, например, горизонт планирования, ограничения или критерии.

•  Нумерация объектов и задач может содержать пропуски, оставленные для развития темы и для самостоятельных практических работ.

•  Сравнивать задачи и решения как из одной, так и из разных серий удобно в нескольких вкладках браузера, «вытащив» их в отдельные окна.

•  Некоторые решения опираются не на самую удачную модель, они предполагают самостоятельную практическую работу по улучшению модели.

кратко

В концепции единой модели Алеф-куб задачи по математике в начальных классах в основном однотипны. Перечислим их отличия:

•  количество «действий» (шагов, уравнений) для их решения;

•  способ решения – подбор и подстановка значений (симуляция) или вычисление;

•  требуется определить зависимые переменные или/и независимые или коэффициенты;

•  используются (неявно) разные : пространственные (статика) или/и временные (динамика), порядковые (сравнение, неравенства, оптимизация) или шкалы наименований (выбор) и др., только натуральные числа или также отрицательные и дробные.

кратко

Сравним базовые задачи из учебника для 1 класса.

1 класс. Реши задачу.

«Считаем ворон». Дано: Прилетели 10 ворон и сели на ветку. Сначала улетело 3 вороны, а потом улетело ещё 2 вороны. Определить: Сколько ворон на ветке?

«У Оли яблоки». Дано: Оле дали 10 яблок.

«Оля съела все». Оля сама съела сначала 3, потом еще 2. Определить: Сколько яблок у Оли?

«Оля угостила». Оля сначала отдала 3 яблока Тане, а потом еще 2 яблока Васе. Определить: Сколько яблок у Оли?

Общее у всех этих задач:

•  Все эти задачи – динамические, календарного планирования, описывают процесс и в пространстве, и во времени. Статическая модель не адекватна постановке задач: все 2+3=5 ворон должны улететь сразу, а Оле придется в один присест съесть все 2+3=5 яблок, что не реально, или мгновенно отдать их сразу двоим, хотя 5 яблок не поместятся в руке.

•  Все эти задачи описывает одна и та же схема математической модели, математически это одна базовая модель, но с разным вербальным описанием, из разных предметных областей.

Рисунок. Схемы объекта для трех задач, сгенерированные автоматически

Отличия задач «У Оли яблоки» от задачи «Считаем ворон»:

•  Терминология, предметная область – орнитология (изучает птиц) и педагогика (или этика – яблоками нужно делиться), словесная постановка.

•  Число ворон может быть только целым, – это дискретная (целочисленная) переменная, число яблок – непрерывная переменная, съесть можно и часть яблока, и угостить можно, например, половиной или третью.

•  Число ворон – наблюдаемые переменные, число яблок – переменные, управляемые Олей.

Отличие задач «Съела» от задач «Угостила» и «Вороны»:

•  Если Оля съела яблоки, их невозможно вернуть, а если угостила, ей могут их вернуть. И вороны могут вернуться обратно на ветку.

Еще две подобных задачи.

«Сок». Дано: Оля выжала 10 стаканов сока. Сначала она отдала 3 стакана Тане, а потом отдала еще 2 стакана Васе. Определить: Сколько стаканов сока осталось у Оли?

«Бассейн». Дано: В бассейне было 100 куб. метров воды. Сначала слили 30 куб. метров по 1й трубе, потом еще 20 куб. метров по 2й трубе. Определить: Сколько воды осталось в бассейне?

Их модели аналогичны предыдущим.

Выводы. Анализ показывает:

•  Общность, абстрактность и единство математических моделей для разных предметных областей, в данном случае орнитологии (раздел зоологии, изучающий птиц) и педагогики (яблоками нужно делиться).

•  Различие между вербальным (словесным) и формальным математическим описанием задачи.

•  Основой моделей даже таких «детских» задач являются ресурсы – вороны, яблоки и др., потоки – движение ресурсов, операции – действия с ресурсами, балансы ресурсов – законы сохранения, а также явно или неявно присутствуют цели.

•  Направления и характеристики, по которым нужно исследовать задачу для моделирования (тип ресурса и балансов, характер операций, шкалы и др.).

•  Как использовать типовые решения из одной предметной области для, казалось бы, совсем другой области.

кратко

Дано: Оле дали 10 яблок. Сначала она отдала 3 яблока Тане, потом еще 2 Васе.

Определить: Сколько яблок у Оли?

кратко

Емкость: «Число яблок у Оли».

Установка: «Оля».

Операции установки: «Получила», «Отдала Тане», «Отдала Васе», «Не было».

Интервалы времени: шаги процесса, 1й шаг, 2й шаг, 3й шаг.

Потоки: из установки «Оля» от операции «Получила» в емкость «Число яблок у Оли», а оттуда в установку «Оля» к операциям «Отдала Тане», «Отдала Васе», «Не было», а из них – неизвестно куда, может быть Таня и Вася съели яблоки.

кратко

Рисунок. Схема объекта со стрелками

кратко

Лист установок, все как в примере 02-02:

•  Иерархия – 1 стадия, 1 установка, 4 операции, в каждой – по одному входному потоку.

•  Потоки заданы в колонке начальных значений, «стационарные», значение потока действует на все интервалы горизонта, пока его не заменили на другое.

Отличия:

•  Режим оптимизации, появилась «1» в колонке «Учет» минимума переходов с одной операции на другую установки в строке, соответствующей установке (есть возможность выбрать, на каких установках учитывать переходы, на каких нет),

•  Матрица переходов с одной операции на другую уже не пустая.

•  Ограничение снизу на запас в емкости, так как число яблок у Оли не может быть отрицательным, но оно не активно.

В матрице переходов:

•  по диагонали «штрафы» (99) за переход с операции на саму себя,

•  «цена» разрешенных переходов, чтобы их подсчитать, равно «1», остальные переходы – «9».

Рисунок. Фрагмент формы – стадия, установка, операция, поток

Матрицу переходов проще заполнять при выборе 3го уровня иерархии элементов, когда скрываются потоки операций, остаются только строки операций.

Рисунок. Фрагмент формы – матрица переходов при выборе 3го уровня иерархии элементов

Лист емкостей – 1 стадия (2я стадия пустая, «замыкающая»), 1 емкость

Рисунок. Фрагмент формы – стадии емкостей, емкость

Примечания.

•  Начальное значение числа яблок у Оли – 0.

•  Ограничение снизу на запас в емкости, число яблок у Оли не может быть отрицательным, но оно не активно.

На листе опций – Горизонт планирования, 3 интервала на горизонте

Рисунок. Фрагмент листа опций – горизонт планирования

кратко

Листы установок и емкостей

Рисунок. Расписание выполнения операций на установках

Рисунок. Расписание запасов в емкостях

Диаграмма Ганта

Рисунок. Фрагмент расписания выполнения операций

Уровни в емкостях

В этом примере функция запаса к емкости немонотонна.

Рисунок. Графики изменения состояния емкостей

Объяснения решения

Рисунок. Фрагмент трассы объяснений хода рассуждений Решателя DP

кратко